De las siguientes afirmaciones, hechas sobre una función f : Â ® Â , ¿cuáles DEBEN ser ciertas, PUEDEN ser ciertas en algunas ocasiones o NUNCA son ciertas? Justifica, las respuestas; en el caso de una respuesta "PUEDE" debes dar un ejemplo en el que la correspondiente afirmación sí es cierta y otro en el que no es cierta.

(a) [0'75 puntos]. Si lim _{x ® 0} = 1 y f es continua entonces f(0) = 1.

(b) (0'75 puntos]. Si lim _{x ® 0} = 3 entonces f '(0) = 3.

(c) [1 punto]. Si lim _{x ® 0} = 3 entonces y = 3x + 1 es la ecuación de, la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

a)

Si lim _{x ® 0} = 1 y f es continua entonces f(0) = 1

NUNCA es cierta porque si f(x) es continua y f(0) = 1, tenemos que lim _{x ® 0} f(x) = f(0) = 1 con lo cual resulta que lim _{x ® 0} = 1/0 = ¥

b)

Si lim _{x ® 0} = 3 entonces f '(0) = 3

CIERTA puesto que el límite que tengo es la definición de la derivada de f(x) en x = 0, es decir f ‘(0).

c)

Si lim _{x ® 0} = 3 entonces y = 3x + 1 es la ecuación de, la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0

PUEDE ser cierta pues por el apartado b) sabemos que f ‘(0) = 3, y también sabemos que f ‘(0) es la pendiente de la recta tangente, luego la ecuación de la recta tangente en x = 0 es:

y - f(0) = f ‘(0)(x – 0), es decir la recta tangente es y = 3x + f(0), y en este apartado no me han dicho que f(0) sea 1. Si f(0) fuese 1 si sería cierta.