Sea f : Â ® Â la función polinómica dada por f(x) = -2x³ + 15x² – 24x + 80.

(a) [1 punto]. Determina el intervalo [a, b] en el que f es creciente.

(b) [1'5 puntos]. Calcula el área limitada por la parte de la gráfica de f correspondiente al intervalo [a, b], el eje OX y las rectas x = a y x = b

a)

f(x) = -2x³ + 15x² – 24x + 80.

Vemos su monotonía estudiando su primera derivada f ‘(x) y de ahí obtendremos el intervalo donde es creciente.

f ‘(x) = -6x² + 30x – 24

De f ‘(x) = 0, obtenemos -6x² + 30x – 24 = 0, simplificando x² – 5x + 4 = 0 ecuación que tiene como soluciones x = 1 y x = 4.

Como f ‘(0) = -24 < 0, f(x) es estrictamente decreciente en (-¥ ,1)

Como f ‘(2) = 12 > 0, f(x) es estrictamente creciente en (1,4)

Como f ‘(5) = -99 < 0, f(x) es estrictamente decreciente en (-¥ ,1)

La función f(x) = -2x³ + 15x² – 24x + 80 es creciente en el intervalo [1,4]

b)

Como f(1) = 13, la función siempre es positiva en el intervalo [1,4] por tanto su área es:

Área = (-2x³ + 15x² – 24x + 80)dx = [-x⁴/2 + 5x³- 12x² + 80x]⁴₁ =

= (- 128 + 320 – 192 + 320) – ( -1/2 + 5 – 12 + 80) = 495/2 u²