(a) [1'5 puntos]. Discute el siguiente sistema según los valores del número real a:

ax + 2y + 3z = 1,

ay + 4 z = 0,

x – y + z = 0,

(b) [1 punto]. Resuélvelo para a = -1

a)

Dado el sistema

ax + 2y + 3z = 1,

ay + 4 z = 0,

x – y + z = 0,

su matriz de los coeficientes A y su matriz ampliada A^* son A = y A^* = .

Para estudiar la compatibilidad del sistema estudiamos el rango de su matriz de los coeficientes A y su matriz ampliada A^*.

det(A) = = a(a + 4) – 0 + 1(8 – 3a) = a² + a + 8

det(A) = 0, nos da a² + a + 8 = 0 que no tiene soluciones reales (su gráfica es una parábola con las ramas hacia arriba que no corta nunca al eje de abscisas), por tanto el sistema dado es compatible y determinado sea cual sea el valor de "a", es decir y tiene solución única sea cual sea el "a".

b)

Lo resolvemos para a = -1

-x + 2y + 3z = 1                    -x + 2y + 3z = 1                       -x + 2y + 3z = 1

-y + 4z = 0                           -y + 4z = 0                               -y + 4z = 0

x – y + z = 0   3ªF+1ªF(1)       y + 4z = 1        3ªF+2ªF(1)           8z = 1, de donde

z = 1/8, y = 4(1/8) = 1/2, y x = 2(1/2) + 3/8 – 1 = 3/8.

La solución es (x,y,z) = (3/8, 1/2, 1/8)