| Enunciado del ejercicio nº 2 | solución del ejercicio nº 2 | Cuadro de Soluciones del modelo 6 de 1996 |
Enunciado del Ejercicio nº 2 de la opción A del modelo 6 de 1996 |
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[2'5 puntos]. En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta y a 500 metros río arriba se ha construido una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta eléctrica y la fabrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta 1.200 ptas. el metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta 2.000 ptas. el metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica?
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Solución |
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Coste = C = 2000y + 1200x Relacion y2 = 1002 + (500 - x)2, de donde y = + Sustituyendo C(x) = (2000). Derivando tenemos Resolviendo la ecuación C ‘(x) = 0 se obtiene x = 425 (El cálculo es largo y tedioso) Calculamos C ‘’(x) para comprobar que es un mínimo ( C ‘’(425) > 0 )
Sustituyendo y operando obtenemos C ‘’(425) =256/25 > 0 con lo cual es un mínimo. Sustituyendo x = 425 en y =
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+ 1200x
, obtenemos y = 125, por tanto las longitudes que nos hacen mínimo el coste son x = 425 e y = 125 metros.