(a) (1'5 puntos]. Calcula, de manera razonada, todas las funciones f : Â ® Â que verifican

(b) [1 punto]. Estudia la derivabilidad de cada una de las funciones f halladas.

a)

En todo  tenemos f(x) con

Por el teorema fundamental del calculo integral que nos dice: Si g(x) es continua en el intervalo [a,b] entonces la función G(x) = es derivable y su derivada es G ‘(x) = g(x).

En nuestro caso tenemos f(x) = f ‘(x)dx

Si x < 0, f(x) = f ‘(x)dx = e^x dx = e^x + K

Si x > 0, f(x) = f ‘(x)dx = (2x + 1) dx = x² + x + H

Como la función está definida en todo  , las posibles funciones buscadas son, con K y H números reales cualesquiera. Como observamos cada rama es una función continua.

La función f(x) está definida en x = 0, pero no nos han dicho que sea continua en x = 0 por tanto no sé la relación que puede existir entre las constantes H y K

b)

La derivabilidad de todas las funciones f(x) ya me la han dado, y es con lo cual lo único que sabemos es que no está definida en x = 0, es decir no existe f ‘(0) lo cual no implica que no sea continua en 0, pero no lo sabemos porque no nos lo han dicho.