[2'5 puntos] Dada la matriz A =, halla a, b, c y, d sabiendo que

(i) el vector cuyas coordenadas son las que aparecen en la primera columna de A es ortogonal al vector (1, -1, -1),

(ii) el producto vectorial del vector cuyas coordenadas son las que aparecen en la tercera columna de A por el vector (1, 0, 1) es (-2, 3, 2), y

(iii) el rango de la matriz A es 2.

(i)

Si el vector (1,2,c) es ortogonal al vector (1, -1, -1) su producto escalar es 0

(1,2,c) · (1,-1,-1) = 0 = 1 – 2 – c = 0, de donde c = - 1

(ii)

(-7,b,d) ^ (1,0,1) = (-2,3,2). El producto vectorial lo escribo "^".

(-7,b,d) ^ (1,0,1) = = i(b) – j(-7 – d) + k(-b) = (b, 7 + d, -b) = (-2,3,2). Igualando miembro a miembro tenemos b = - 2 , y 7 + d = 3 de donde d = - 4.

(iii)

Si el rango(A) = 2 el determinante de A tiene que ser 0

det(A) = 1(-4a – 2a) – 3(-8 – 2) +(-7)(-2a + a) =

= -6a +30 +7a = 30 + a = 0, de donde a = -30