(a) [2 puntos]. Encuentra el ángulo que forman las diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD en el que A = (2, 1,0), B = (0,0,0) y C = (0, -1,2).

(b) [0'5 puntos]. ¿Es un cuadrado? Justifica la respuesta

a)

Como es un paralelogramo los vectores libres AB y DC son iguales, por tanto:

A = (2, 1,0), B = (0,0,0) y C = (0, -1,2).

AB = DC

(-2, -1, 0) = (0-x, -1-y, 2-z).Igualando

-2 = -x , de donde x = 2

-1 = -1 - y , de donde y = 0

0 = 2 - z , de donde z = 2

El punto que falta del paralelogramo es D(2,0,2)

Veamos el ángulo de las diagonales pedidas

AC = (0-2, -1-1, 2-0) = (-2, -2, 2)

BD = (2-0, 0-0, 2-0) = (2, 0, 2)

El ángulo que forman AC y BD es arcos(0) = 90º

b)

El paralelogramo es un cuadrado si las longitudes de sus lados es la misma y dos lados consecutivos son perpendiculares, es decir el vector AB tiene que ser perpendicular (producto escalar 0) al vector BC

AB = (-2, -1, 0)

BC = (0, -1, 2)

AB · BC = 0 + 1 + 0 = 1 ≠ 0, por tanto el paralelogramo no es un cuadrado.