La función f definida por f ‘(x) =; es derivable en toda la recta real

(a) [1'5 puntos]. ¿Cuánto vale a?

(2) [1 punto]. Para dicho valor de a, cuánto vale f '(3)?

a)

Como f ‘(x) =; es cierto para todo nº real lo es para el 3, por tanto:

f ‘(3) = 1

Le aplicamos la Regla de L’Hôpital que dice : Si f y g son continuas en [a-r,a+r], derivables en (a-r,a+r) y además f(a) = g(a) =0 entonces si existe se verifica que

= 3 – a

Como tenemos que 3 – a = 1, de donde a = 2 y la derivada de la función dada es :

f ‘(x) =;

b)

Viendo la función derivada que lo es en todo  vemos que f ‘(3) = 1. Si aplicásemos la definición obtendríamos lo mismo, pero no es necesario pues ya me dicen que existe f ‘(x) en todo  y me han dado su expresión.