(a) [1 punto] Describe el procedimiento de integración por partes.

(b) [1'5 puntos]. Determina una función f : [0, ¥ ] ® Â sabiendo que su función derivada viene dada por f '(x) = Ln((x + 3)(x + 1)) y que f(0) = Ln(27), donde Ln(x) representa el logaritmo neperiano de x.

a)

"El método de integración por partes nos dice que si u(x) y v(x) son funciones con derivada continua entonces . En forma diferencial es . (Está basado en la derivada del producto de dos funciones).

b)

Tenemos f '(x) = Ln((x + 3)(x + 1)) y que f(0) = Ln(27).

Por el Teorema Fundamental del cálculo Integral que dice: Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b] entonces la función F(x) = es derivable y su derivada es F ‘(x) = f(x).

En nuestro caso tenemos que f(x) = f ‘(x)dx.

I = f(x) = f ‘(x)dx = Ln((x + 3)(x + 1)) dx = Ln((x² + 4x + 3))dx. Integral por partes.

Tomamos u = Ln((x + 3)(x + 1)) y dv = dx, de donde du = [(2x + 4)/( x² + 4x + 3)]dx y v = x

I = x. Ln|(x + 3)(x + 1)| - x. [(2x + 4)/( x² + 4x + 3)]dx =

= x. Ln|(x + 3)(x + 1)| - [(2x² + 4x)/( x² + 4x + 3)]dx = x.Ln|(x + 3)(x + 1)| – I₁

I₁ = [(2x² + 4x)/( x² + 4x + 3)]dx es una integral racional.

Efectuamos antes la división por que el numerador no es de menor grado que el denominador

I₁ = [(2x² + 4x)/( x² + 4x + 3)]dx =(2)dx + [(- 4x - 6)/( x² + 4x + 3)] dx =

= 2x + (A/(x+3))dx + (B/(x+1))dx = 2x + A.Ln|x+3| + B.Ln|x+1| *

Calculamos las constantes A y B

[(- 4x - 6)/( x² + 4x + 3)] = (A/(x+3)) + (B/(x+1)) = [A(x+1)+B(x+3))/( x² + 4x + 3)]

Igualando numeradores

-4x – 6 = A(x+1)+B(x+3)

Para x = -1, -2 = B(2) de donde B = -1

Para x = -3, 6 = A(-2) de donde A = -3

Luego I₁ = 2x - 3.Ln|x+3| - 1.Ln|x+1|, por tanto

I = f(x) = x.Ln((x + 3)(x + 1)) – I₁ = x.Ln|(x + 3)(x + 1)| – 2x + 3Ln|x+3| + Ln|x+1| + K

Como dicen que f(0) = Ln(27) tenemos que

Ln(27) = 0 – 0 + 3Ln(3) + Ln(1) + K = Ln(3³) + K = Ln(27) + K, de donde K = 0 y la función pedida es:

f(x) = x.Ln|(x + 3)(x + 1)| – 2x + 3Ln|x+3| + Ln|x+1|