Sea C la circunferencia de ecuación C º x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0,

(a) [1 punto] Calcula el centro y el radio de C.

(b) [1 punto]. Calcula el punto B que es el diametralmente opuesto del punto A = (-1,7).

(c) [0’5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de las rectas tangentes a C en los puntos A y B?

a)

Circ. º x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0,

La circunferencia de centro C (a,b) y radio r es (x – a)² + (y – b)² = r². Desarrollando esta expresión tenemos

Circ. º x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Igualando obtenemos

-2a = -4, de donde a = 2

-2b = -6, de donde b = 2

r =

El centro de la circunferencia es el punto C(a,b) = C(2,3)

El radio de la circunferencia es r = 5

b)

Si B es el punto diametralmente opuesto al A, el centro(2,3) es el punto medio del segmento AB, es decir:

(2,3) = ( (x -1)/2, (y+7)/2 ), de donde

2 = (x -1)/2 y por tanto x = 5

3 = (y + 7)/2 y por tanto y = - 1

El punto buscado es B(5, -1)

c)

Las tangentes a una circunferencia en los puntos extremos de cualquier diámetro son paralelas, puesto que el diámetro es perpendicular a cualquier tangente a la circunferencia en sus puntos extremos.