Si una función f : [a b] ® Â es integrable, se llama valor medio de f en el intervalo [a,b] al número m = dx

Para hacer un estudio sobre, la capacidad de memorizar de un niño se utiliza el siguiente modelo: si x es su edad en años, entonces su capacidad de memorizar viene darla por f(x) = 1 + 2x Ln(x) (0 £ x £ 5), donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de x.

(a) [1 punto]. Describe el método de integración por partes.

(b) [1’5 puntos]. Encuentra, usando el modelo descrito, el valor medio de la capacidad de memorizar de un niño entre su primer y su tercer cumpleaños.

a)

Se llama valor medio de f en el intervalo [a,b] al número m = dx

f(x) = 1 + 2x Ln(x) (0 £ x £ 5),

"El método de integración por partes nos dice que si u(x) y v(x) son funciones con derivada continua entonces . En forma diferencial es . (Está basado en la derivada del producto de dos funciones).

b)

m =

I = x + 2.I₁

I₁ = x.ln(x)dx . Es una integral por parte, hacemos u = ln(x) y dv = xdx con lo cual du = (1/x)dx y v = x²/2

I₁ = x.ln(x)dx = (x²/2) ln(x) - (x/2))dx = (x²/2) ln(x) – x²/4

I = x + 2.I₁ = x + 2[(x²/2) ln(x) – x²/4] = x + x²ln(x) – x²/2

m = = (1/2)[ x + x²ln(x) – x²/2]³₁ =

= (1/2)[(3 + 9ln(3) – 9/2) – (1 + 0 – 1/2)] = 2 + (9/2)ln(3)