[2'5 puntos]. Discute, según los valores de a, la posición relativa de la recta r de ecuaciones

r º , respecto del plano ax + 2y + 3z = 3.

Lo que hacemos es estudiar la posición relativa de los tres planos siguientes, según los valores de "a"

2x + 2y +(a+1)z = 3

- x+ y + z = 1

ax + 2y + 3z = 3

Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes A = y el de la matriz ampliada A* =

det(A) =

= (a + 3)(2 – a)

Si a ≠ - 3 y a ≠ 2 rango(A) = 3 el sistema es compatible y determinado y tiene solución única, por tanto la recta y el plano se cortan en un único punto

Si a = - 3 la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son

A = y A* =

En A como = 2 + 2 = 4 ≠ 0, rango(A) = 2

En A* como = 5 ≠ 0, luego rango(A*) = 3

Como rango(A) = 2 ≠ rango(A*) = 3 por tanto el sistema es incompatible y no tiene solución, por tanto la recta y el plano no se cortan en ningún punto. Como los tres planos son independientes dos a dos, geométricamente son tres planos independientes que se cortan dos a dos formando una tienda de tienda canadiense.

Si a = 2 la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son

A = y A* =

En A como = 2 + 2 = 4 ≠ 0, rango(A) = 2

En A* como = 0 por tener dos filas iguales, luego rango(A*) = 2

Como rango(A) = 2 = rango(A*) el sistema es compatible e indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones. Geométricamente vemos que la ecuación del plano coincide con una de las dos ecuaciones de la recta.