Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 3 de 1996
Considera la curva de ecuación y = x
(x ³
0)
(a) [1’5 puntos]. ¿Cuál es el punto de la curva más cercano al punto P = (1/2, 0)
(b) [1 punto] Deduce de forma razonada si existe o no un punto en la curva que sea el que está más lejos de P.
Solución del Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 3 de 1996
a)
y = x (x ³
0)
El punto mas cercano al punto P(1/2, 0) es el que minimiza la distancia d(P,X) = ||PX||, siendo X el punto X(x, x)
PX = (x – 1/2, x)
f(x) = ||PX|| = 
f ‘(x) = 
De f ‘(x) = 0 obtenemos 2(x – 1/2) + 3x2 = 0 = 3x2 + 2x – 1. Resolviendo la ecuación nos quedan como soluciones x = -1 y x = 1/3. Como en el enunciado del problema nos dicen que x ≥ 0, la solución válida es x = 1/3.
Veamos x = 1/3 es un mínimo
Como f ‘(0) = -1 < 0, f(x) es decreciente en (-¥ ,1/3)
Como f ‘(1) = 4/(+) > 0, f(x) es creciente en (-¥ ,1/3)
Por tanto por definición x = 1/3 es un mínimo.
El punto más próximo es (1/3, 1/3
)
b)
El punto más próximo de la curva al punto P, que es (1/3, 1/3) está en la recta perpendicular a dicha curva que pasa por P, por tanto hay infinitos puntos de la curva que están a mayor distancia del punto mas próximo (1/3, 1/3), puesto que hay infinitas rectas que pasan por P(1/2, 0), cortan a la curva y = x y no son perpendiculares con ella.