| Enunciado del ejercicio nº 3 | solución del ejercicio nº 3 | Cuadro de Soluciones modelo 3 de 1996 |
Enunciado del Ejercicio nº 3 de la opción A del modelo 3 de 1996 |
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| Considera el sistema de ecuaciones (a) [1 punto] ¿Para qué valores de a no tiene inversa la matriz de coeficientes del sistema anterior? (b) [1'5 puntos] Discute sus soluciones según los valores de a e interpreta geométricamente el resultado.
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Solución del Ejercicio nº 3 de la opción A del modelo 3 de 1996 |
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a)
Sea |A| = Resolvemos |A| = 0, es decir a 2 + 2a - 15 = 0 y obtenemos como soluciones a = 3 y a = - 5 Si a = 3 y a = - 5 no existe inversa de la matriz A b) Si a ≠ 3 y a ≠ - 5 el sistema es compatible y determinado y tiene solución única. Geométricamente son tres planos independientes que se cortan en un punto Si a = 3 Tenemos Como Como Como rango(A) = rango(A*) = 2 el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones. Como los tres planos son independientes dos a dos, y hay solución, geométricamente son tres planos independientes que pertenecen al haz de planos generado por dos de ellos cualesquiera. Si a = - 5 Tenemos Como Como Como rango(A) = 2 ≠ rango(A*) = 3 el sistema es incompatible. Como los tres planos son independientes dos a dos, y no hay solución, geométricamente son tres planos independientes que se cortan dos a dos formando una tienda de tienda canadiense.
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=
y 
la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema dado. Calculamos el determinante de A.
= 1(6 – 10a
) - a
(-12 - a
) + (-1)(20 + 1) = a
2 + 2a
- 15
= -1 – 6 = - 7 ≠ 0 tenemos que rango(A) = 2.
, rango(A*) = 2.
-1 + 10 = + 9 ≠ 0 tenemos que rango(A) = 2.
- 24 ≠ 0, rango(A*) = 3.