[2'5 puntos]. El número de bacterias en un cultivo experimental en un instante t es

N(t) = 1000(25 + t× e ^{–t / 20}), para 0 £ t £ 100.

¿Cuanto valen el máximo y el mínimo número de bacterias y en qué instantes se alcanzan, respectivamente dichos valores, extremos?

N(t) = 1000(25 + t× e ^{–t / 20}), para 0 £ t £ 100.

Estudiamos su derivada

N ‘(t) = 1000(e ^{–t / 20} + t. e ^{–t / 20}(-1/20)) = 1000. e ^{–t / 20}.(1 – t/20)

Si N ‘(t) = 0 tenemos .(1 – t/20) = 0, puesto que 1000 y e ^{–t / 20} nunca valen cero, de donde t = 20 que será el máximo o mínimo relativo.

Como la función N(t) es continua y derivable los máximos y mínimos absolutos se alcanzan en los extremos del intervalo o en los extremos relativos. El valor mayor será el máximo absoluto y el valor menor será el mínimo absoluto. En nuestro caso los valores son t = 0, t = 20 y t = 100

N(0) = 1000(25 + 0) = 25000

N(20) = 1000(25 + 20.e^-1) @ 32357’5882

N(100) = 1000(25 + 100.e^-5) @ 25134’75894

El máximo de bacterias es 32357’5882 y se alcanza para t = 20

El mínimo de bacterias es 25000 y se alcanza para t = 0