Un punto M se mueve en el espacio tridimensional de manera que en un instante de tiempo t se encuentra en el punto (1+t, 3+t, 6+2t)

(a) [ 0’5 puntos] ¿Es esta trayectoria una línea recta? Si es así, escribe sus ecuaciones de dos formas distintas.

(b) [1 punto] Halla el instante de tiempo en el que el punto está en el plano dado por la ecuación x – 2y + z – 7 = 0..

(c) [ 1 punto] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la trayectoria de M y pasa por el punto (1,1,0)

(a)

Es una recta M(1+t,3+t,6+2t) = (x,y,z)

En paramétricas

En forma continua

(b)

Sustituimos la ecuación de la recta en el plano

(1+t) – 2(3+t) + (6-2t) – 7 = 0, y operando obtenemos t = 6

(c)

Calculamos el plano P perpendicular a la recta r por el punto (1,1,1,). La intersección con la recta es el punto N, y la recta que nos piden es la recta que pasa por los puntos P y N

P º 1(x-1)+1(y-1)+2(z-0) = 0, operando sale P º x+y+2z-2 = 0.

N = r Ç P ; (1+t)+(3+t)+2(6+2t)-2 = 0. Operando sale t = -7/3, de donde

N(1-7/3, 3-3/7, 6-14/3) = (-4/3, -1/3, 4/3)

La recta pedida es