Las coordenadas (a,b) del centro de gravedad de una lámina de densidad uniforme que está limitada por la curva y = sen(x) y la porción del eje OX comprendida entre x = 0 y x = p /2, vienen dadas por:

, y

(a) [ 1 punto] Describe el método de integración por partes.

(b) [1’5 puntos] Utiliza dicho método para calcular el centro de gravedad de la lámina sabiendo que

(a)

Si u(x) y v(x) son funciones con derivada continua entonces

∫u(x).v ‘(x)dx = u(x).v(x) - ∫v(x).u ‘(x)dx

(b)

I = ∫xsen(x)dx =

╠ tomando u = x, dv = sen(x)dx, tenemos du = dx, y v = ∫sen(x)dx = -cos(x) ╣

= x(-cos(x)) - ∫-cos(x)dx = -xcos(x) + sen(x). Luego

= (-p /2.cos(p /2) + sen(p /2)) – (0.cos(0) + sen(0)) = 1

= (-cos(p /2)) – (-cos(0)) = 1.

Por tanto a = 1/1 = 1 y b = (p /4)/(2) = p /8.