Examen modelo 3 de sobrantes de 2003
Instrucciones Ejercicios de la opción A Ejercicios de la opción B

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

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Modelo 3 de sobrantes de 2003 - Opción A

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Se sabe que la función f : Â ® Â definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f(1) = 1. Calcula a, b y c.

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Ejercicio 2. Sea f : Â ® Â la función definida por f(x) = x2 - 2x + 2.

(a) [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

(b) [1'75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la grafica de f, la recta tangente obtenida y el eje OY.

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Ejercicio 3. [2'5 puntos] Dadas las matrices A = y B = , halla la matriz X que cumple que A.X = (B.At)t .

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Ejercicio 4.- Considera el punto P(-2, 3, 0) y la recta r º .

(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a la recta r.

(b) [1'5 puntos] Determina el punto de r más próximo a P.

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Modelo 3 de sobrantes de 2003 - Opción B

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Se sabe que la función f : (0; 3) ® Â es derivable en todo punto de su dominio, siendo

f '(x) = , y que f(1) = 0. Halla la expresión analítica de f.

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Ejercicio 2. Sea f : Â ® Â la función continua definida por f(x) = , donde a es un número real.

(a) [0'5 puntos] Determina a.

(b) [2 puntos] Halla la función derivada de f.

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Ejercicio 3. Dada la matriz A = , se pide:

(a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.

(b) [1'5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2.

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Ejercicio 4.  Considera una recta r y un plano p cuyas ecuaciones son, respectivamente,

x = t                        x = a

y = t (t Î Â )           y = a (a, b Î Â )

z = 0                      z = b

(a) [1'25 puntos] Estudia la posición relativa de la recta r y el plano p .

(b) [1'25 puntos] Dados los puntos B(4, 4, 4) y C(0, 0, 0), halla un punto A en la recta r de manera que el

triángulo formado por los puntos A, B y C sea rectángulo en B.

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