Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la función f: (0,¥ ) ® R definida por f(x) = x× Ln(x). Calcula:

(a) [1'5 puntos]

(b) [1 punto] Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1,0).

(a) xLn(x) dx = Ln(x)× (x² /2) - (x² /2) × (1/x)dx = (x² /2) × Ln(x) - (1/2)× x dx =(x² /2) × Ln(x) - (1/4)x² + K = F(x)

u = Ln(x) ® du =(1/x)dx

dv = x dx ® v =x dx =(x² /2) 

(b) Como pasa por (1,0) tenemos F(1) = 0, es decir 1/2× Ln(1) - 1/4× (1) + K = 0 ® K = 1/4, por tanto

F(x) =(x² /2) × Ln(x) - (1/4)x² + 1/4.