| Enunciado del ejercicio nº 2 | solución del ejercicio nº 2 | Cuadro de Soluciones modelo 2 de 2001 |
Enunciado del ejer 1 del modelo 2 de la opción A de sobrantes de 2001 |
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Sea
f: R ®
R la función dada por f(x) =|8 –
x2|. (a)
[1 punto] Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde se
alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). (b)
[1'5 puntos] Calcula los
puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el
punto de abscisa x = -2.
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Solución |
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(a) f(x) = |8 - x2| = 8 - x2 = 0, las soluciones son x = ± Ö (8) Para x < -Ö (8) y x >Ö (8) , 8 - x2 es mayor que cero, lo cual se comprueba sustituyendo un número cualquiera en 8 - x2. Para -Ö (8) < x < Ö (8), los valores de 8 - x2 son negativos La gráfica de 8 - x2 es la misma que la de -x2 pero desplazada 8 unidades hacia arriba en ordenadas. La gráfica de -(8 - x2) es la simétrica de la de 8 - x2 respecto al eje OX. 8 - x2 es una parábola con las ramas hacia abajo su extremo se encuentra en f '(x) = 0 -2x = 0, x = 0 es la abscisa del máximo que vale 8 Como tenemos un valor absoluto los mínimos se encuentran en el eje OX en concreto en las abscisas que los anulan, en nuestro caso en x = ± Ö (8) La gráfica de la función es
(b) Recta tangente en x = -2. La rama es f(x) = 8 - x2 y - f(-2) = f '(-2)(x+2); f '(x) = -2x; f(-2) = 8 - (-2)2 = 4 ; f '(-2) = -2(-2) = 4 y - 4 = 4(x+2). Operando queda y = 4x +2 El corte de la tangente y = 4x+2 con 8 - x2 es x = -2. Faltan los cortes con x2 - 8 para lo cual se resuelve la ecuación x2 - 8 = tangente, es decir x2 - 8 = 4x+2; x2 -4x - 20 = 0. Sus soluciones son x = 2 ± Ö (24) La recta tangente y = 4x + 2 corta a la función f(x) = |8 - x2| en x = -2 y en x = 2 ± Ö (24)
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