| Enunciado del ejercicio nº 4 | solución del ejercicio nº 4 | Cuadro de Soluciones modelo 1 de 2001 |
Enunciado del Ejercicio nº 4 de la opción B del modelo 1 de 2001 |
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[ 2'5 puntos] Considera los puntos A(1,0,3), B(3,-1,0),C(0,-1,2) y D(a,b,-1). Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D
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Solución |
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Resta r que pasa por A y B. Punto A(1,0,3) y vector v =AB=(2,-1,-3) Resta s que pasa por C y D. Punto C(0,-1,2) y vector w =CD=(a,b+1,-3) Como la recta r corta perpendicularmente a la recta s los vectores directores v y w son perpendiculares es decir su producto escalar es cero v· w = 2a +(-1)(b+1) + 9 = 0. Operando nos queda 2a - b + 8 = 0 Si los vectores directores son paralelos las rectas son paralelas y si los vectores diredctores no son paralelos las rectas se cortan o se cruzan, para lo cual tenemos que estudiar el determinante siguiente det(AB,v,w). Si det(AB,v,w) ¹ 0 las rectas se cruzan. Si det(AB,v,w)= 0 las rectas se cortan que es el caso quenos han pedido det(AC,v,w) = = 2a - 5b - 14 = 0 Resolviendo el sistema 4b + 22 = 0; b = -11/2 2a +11/2+8 = 0; a = -27/4
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=
= (-1)
= (-1)(9+3a+5b+5-5a) =
, obtendremos a y b