Considera A =, B = y X =

(a) [ 1 punto] Determina el rango de A en función del parámetro a.

(b) [ 0'75 puntos] Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial AX = B.

(c) [ 0'75 puntos] Resuelve AX = B en los casos en que sea compatible indeterminado.

(a) |A| = 1+a= a² -2a +2 +a(-4+3a) = 4a² -6a +2.

Resolvemos 4a² -6a +2 = 0 y obtenemos a = 1 y a = 1/2

Si a ¹ 1 y a ¹ 1/2 el rango(A) = 3

Si a = 1, |A| = 0. En A =como = 1 ¹ 0, el rango(A) = 2

Si a = 1/2, |A| = 0. En A =como = 1/2 ¹ 0, el rango(A) = 2

(b) La matriz de los coeficientes es A =, y la matriz ampliada A^* =

Si a ¹ 1 y a ¹ 1/2 el rango(A) = 3 = rango(A^*) y el sistema es compatible y determinado por el Teorema de Rouche, es decir tiene solución única.

Si a = 1

A = y A ^* =. En A^* como = 0, tenemos que rango(A^* ) = 2

Como rango(A) = rango(A ^*) = 2. el sistema es compatible e indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones.

Este caso tendré que resolverlo en elapartado (c) y tomaré dos ecuaciones y dos incógnitas principales

Si a = 1/2

A = y A ^* =. En A^* como = 1/2(1 - 1/2) ¹ 0, tenemos que rango(A^* ) = 3

Como rango(A) = 2 ¹ rango(A ^*) = 3, el sistema es incompatible.

(c) Tengo que resolver el caso a = 1. Tomo dos ecuaciones (las dos primeras, pues con ellas me he asegurado que el rango era 2) y dos incognitas principales

. Tomo z = l

y = - 2z = - 2l ; x = 1+2y+3z = 1-4l +3l = 1-l . La solución del sistema es (x,y,z) = (1-l , -2l , l ) con l Î Â .