Se quiere dividir la región encerrada entre la parábola y = x² y la recta y = 1 en dos regiones de igual área mediante la recta y = a. Halla el valor de a

Como se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x² (en rojo), y la recta y = 1 (en verde) en dos regiones de igual área mediante la recta y = a (ver figura)

Para determinar el área limitada por dos funciones hemos de igualarlas para calcular sus puntos de corte

De y = x² e y = 1, tenemos x² = 1 de donde x = ± 1

De y = x² e y = a, tenemos x² = a de donde x = ± a

Tenemos que igualar las áreas para determinar el valor de "a", es decir Área 1 = Área 2

Área 1 =(1) dx -(a) dx - (x²) dx - (x²) dx = - - - =

= 2 - 2aÖ (a) + ( 2aÖ (a))/3 - 2/3

Área 2 =(a - x²) dx == 2aÖ (a) - ( 2aÖ (a))/3

Igualando las áreas tenemos 2 - 2aÖ (a)+ ( 2aÖ (a))/3 - 2/3 = 2aÖ (a) - ( 2aÖ (a))/3, y operando nos resulta

1/2 = aÖ (a), de donde a = » 0'6299..., luego hay que dividirlo por la recta y = 0'6299.....