| Enunciado del ejercicio nº 3 | solución del ejercicio nº 3 | Cuadro de Soluciones modelo de 2000 |
Enunciado del Ejercicio nº 3 de la opción B del modelo 6 de 2000 |
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2'5 puntos]
Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de las rectas de ecuaciones respectivas 2x - y - 4 = 0 y x - 2y +3=0, y es tangente a la recta x - 3y +3 = 0. Calcula el punto de tangencia.
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Solución |
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El centro de la circunferencia es la intersección de las rectas 2x - y - 4 = 0 y x - 2y +3 = 0. Resolviendo dicho sistema obtenemos como centro C(11/3, 10/3) Como dicen que la circunferencia es tangente a la recta r º x - 3y + 3 = 0, y sabemos que los radios son perpendiculares a las rectas tangentes, vamos a calcular la recta perpendicular a r que pase por el centro C, y la llamamos s. Dicha recta tiene de ecuación s º 3x + y + K = 0. Le obligamos a pasar por el centro C(11/3, 10/3) y tenemos 3(11/3) + (10/3) + K = 0, de donde K = -43/3 y por tanto s º 3x + y - 43/3 = 0 Sea Q = r Ç s Resolviendo el sistema x - 3y + 3 = 0 y 3x + y - 43/3 = 0 obtenemos Q(4,7/3) Por lo dicho anteriormente el radio es d(C,Q) = ||CQ|| = CQ = (4 -1/3, 73 - 10/3) = (1/3, - 1) La circunferencia pedida es la que tiene de centro C(11/3, 10/3) y radio (x - 11/3)2 + (y - 10/3)2 = Su gráfica es
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