[ 2'5 puntos] Sea f : Â ® Â la función definida en la forma f(x) =. Estudia la derivabilidad de f.

f(x) =. Veamos primero la continuidad en x = -2 y en x = 1 puesto que las ramas son continuas al ser ramas polinómicas

f(x) = [ (1/3)x³ - x + 2/3] = (1/3)(- 8) + 2 + 2/3 = - 8/3 + 8/3 = 0 = f(- 2)

f(x) = (0) = 0.

Como f(- 2) =f(x) =f(x) = 0, la función es continua en x = - 2.

Análogamente

f(x) = [ (1/3)x³ - x + 2/3] = (1/3) - 1 + 2/3 = 3/3 - 1 = 0

f(x) = (0) = 0 = f(1).

Como f(1) =f(x) =f(x) = 0, la función es continua en x = 1.

Estudiemos ahora la derivabilidad

f ' (x) =.

Nos falta ver la continuidad en x = -2 y x = 1

En x = - 2

f ' (-2 ^- ) = f ' (x) =(x² - 1) = 4 - 1 = 3

f ' (-2 ⁺ ) = f ' (x) =(0) = 0

Como f ' (-2 ^- ) ¹ f ' (-2 ⁺ ), no existe f ' (- 2)

En x = 1

f ' (1 ^- ) = f ' (x) =(0) = 0

f ' (1 ⁺ ) = f ' (x) =(x² - 1) = 1 - 1 = 0

Como f ' (1 ^- ) = f ' (1 ⁺ ) = 0, existe f ' (1) = 0, por tanto f(x) es derivable en  - {- 2}