Considera el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial × =.

(a) [ 1'5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro b.

(b) [ 1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

(a)

× =; A =; A ^* = matriz de los coeficientes y matriz ampliada.

Estudiamos |A| = == (1)(1 -b²).

Si |A| ¹ 0, b² ¹ 1, es decir si b ¹ ± 1 , el sistema es compatible y determinado.

Si b = 1,

|A| == 0, pero = 1 ¹ 0 por tanto rango(A) = 2

En A ^* como = 1= 0 rango (A ^*) = 2

Al ser rango(A) = 2 = rango (A ^*), el sistema es compatible e indeterminado. Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas principales ( después lo resolveremos)

Si b = - 1,

|A| == 0, pero = 1 ¹ 0 por tanto rango(A) = 2

En A ^* como = -( 1) ¹ 0 rango (A ^*) = 3

Al ser rango(A) = 2 ¹ 3 = rango (A ^*), el sistema es incompatible.

(b)

Lo resolvemos en el caso de b = 1, que era compatible e indeterminado

Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas principales ( elegimos las dos primeras, con las que hemos formado el menor )

x + y + z = - 2

0 + y + z = 0; hacemos z = l con lo cual y = - z = - l y x = - 2- y - z = - 2 - (-l ) -l = - 2. Es decir las soluciones del sistema son (x, y, z) = =(- 2, - l , l ) con l Î Â