Sea f la función definida para x ¹ 2 por f(x) =

(a) [ 1 punto] Halla las asíntotas de la gráfica de f.

(b) [ 1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de f..

(c) [ 0'5 puntos] Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f.

(a)

Como f(x) =si x ¹ 2

x ¹ 2 es una A.V. porque = = + ¥ . Análogamente = = - ¥

y = mx+n es una A.O. con m = == 1 y

n ==== - 2, por tanto la A.O. es y = mx+n = x - 2

Como = 0⁺, f(x) está por encima de la A.O. en + ¥ (le damos a x el valor + 1000)

Como = 0 ^-, f(x) está por debajo de la A.O. en - ¥ (le damos a x el valor - 1000)

(b)

Realizamos el estudio de f ' (x) para ver el crecimiento y decrecimiento

f(x) =

f ' (x) ==

Si f ' (x) = 0 ® x(x+4) = 0, de donde x = 0 y x = - 4 que serán los posibles máximos o mínimos. No olvidemos que x = -2 2s una A.V.

Como f ' (-5) =(+)/(+) >0 , f(x) crece en (-¥ , -4)

Como f ' (-3) =(-)/(+) <0 , f(x) decrece en (-4, -2)

Como f ' (-1) =(-)/(+) <0 , f(x) decrece en (-2, 0)

Como f ' (1) =(+)/(+) >0 , f(x) crece en (0, +¥ )

Por definición x = -4 es un máximo relativo con valor f(-4) = -8 y x = 0 es un mínimo relativo con valor f(0) = 0

(b)

Su gráfica es