Considera el sistema de ecuaciones .

(a) [ 1 punto] Halla todos los posibles valores del parámetro l para los que el sistema correspondiente tiene al menos dos soluciones distintas.

(b) [ 1 punto] Resuelve el sistema para los valores de l en el apartado anterior.

(c) [ 0'5 puntos] Discute el sistema para los restantes valores de l .

(a)

Sean A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema

A =     y        A^* =

Si | A| ¹ 0, el sistema tiene solución única

Si | A| = 0, el sistema no tiene solución única, y tendremos que verlo caso a caso según los valores de l , y estudiar si los rangos de A y de A^* coinciden o no. Como me piden que tenga al menos dos soluciones distintas tiene infinitas soluciones, por tanto tiene que ser rango(A) = rango(^A*) = 2

Empezamos

|A| === 1(- 2) + 2 = 0, sea cual sea l por tanto rango (A) no es 3. Al ser ¹ 0, tenemos que rango (A) = 2

En A*, para que rango(A^*) = 2 tiene que ser = 0 == - 4 - 2(1 - l ) = 2l - 6 = 0, de donde l = 3.

Tomando l = 3, por el Teorema de Rouché-Frobeniüs como rango(A) = rango(A*) = 2, el sistema es compatible e indeterminado y tiene al menos dos soluciones (por tanto tiene infinitas)

(b)

Tomando l = 3, por el Teorema de Rouché-Frobeniüs como rango(A) = rango(A*) = 2 tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas principales. Tomo las ecuaciones 2ª y 3ª

. Haciendo z = m , nos resulta y = 1 - m y entrando en la otra ecuación obtenemos

x = - 2 + m . Es decir las soluciones del sistema en este caso son (x,y,z) = (- 2 + m ., 1 - m ., m .) con m Î Â .

(c)

Si l ¹ 3, tenemos rango (A) = 2 ¹ rango (A^*) y el sistema es incompatible por el teorema de Rouche.