| Enunciado del ejercicio nº 1 | solución del ejercicio nº 1 | Cuadro de Soluciones modelo 4 de 2000 |
Enunciado del Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 4 de 2000 |
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2'5 puntos]
Determina una función polinómica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un máximo en x = 1, que su gráfica pasa por el punto (1,1) y que la recta de ecuación y = x es tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 0.
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Solución |
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f(x) = ax3+bx2+cx+d Como x = 1 es máximo, tenemos f ' (1) = 0 Como pasa por (1,1) , tenemos f(1) = 1 Como y = x es tangente en x = 0, la pendiente en 0 es 1, es decir f ' (0) = 1 Como y = x es tangente en x = 0, el punto (0,0) es de la función luego f(0) = 0 f '(x) = 3ax2+2bx+c De f ' (0) = 1, tenemos 1 = c De f ' (1) = 0, tenemos 0 = 3a + 2b +1 De f(0) = 0, tenemos 0 = d De f(1) = 1, tenemos 1 = a+b+1 Resolviendo el sistema 0 = 3a+2b+1 0 = a+b. Obtenemos a = -1 y b = 1 luego la función pedida es: f(x) = ax3+bx2+cx+d = -x3+x2+x
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