Considera el sistema de ecuaciones .

(a) [ 1 punto] Halla todos los valores del parámetro l para os que el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones.

(b) [ 1 punto] Resuelve el sistema para los valores de l en el apartado anterior.

(c) [ 0'5 puntos] Discute el sistema para los restantes valores de l .

(a)

Sean A y A* la matriz de os coeficientes y la matriz ampliada del sistema

A = y A^* =

Si | A| ¹ 0, el sistema tiene solución única

Si | A| = 0, el sistema no tiene solución única, y tendremos que verlo caso a caso según los valores de l , y estudiar si los rangos de A y de A^* coinciden o no.

|A| == 2l ²+12l - 14

Resolviendo 2l ²+12l - 14 = 0 obtenemos l = 1 y l = -7

Si l ¹ 1 y l ¹ -7, el sistema tiene solución única puesto que rango(A) = rango (A^*)=3.

Si l = 1. Tenemos | A| = 0, y como ¹ 0, rango (A) = 2

En A*, de = 0, tenemos rango(A*) = 2

Por el Teorema de Rouché-Frobeniüs como rango(A) = rango(A*) = 2, el sistema tiene infinitas soluciones.

Si l = -7. Tenemos | A| = 0, y como ¹ 0, rango (A) = 2

En A*, de¹ 0, tenemos rango(A*) = 3

Por el Teorema de Rouché-Frobeniüs como rango(A)=2¹ rango(A*)=3, el sistema no tiene solución y es incompatible.

(c) Ya hemos resuelto la discusión del sistema.

(b) Si l = 1, como rango(A) = rango(A*) = 2, nos quedamos solo con las dos primeras ecuaciones:

x+2y = 3 ; -x+2z = -1. Para resolverlo tomamos z = m , y nos resulta x=1+2m e y=1-m , por tanto las infinitas soluciones son (x,y,z) = (1+2m , 1-m , m ) con m Î Â .