Solución del ejercicio nº 2 de la opción B  del modelo 1 de 2000
Enunciado del ejercicio nº 2 solución del ejercicio nº 2 Cuadro de Soluciones modelo 1 de 2000

Enunciado del Ejercicio nº 2 de la opción B del modelo 1 de 2000

(a) [ 1 punto] Dibuja el recinto limitado por la curva y = (9-x2)/4, la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa x = 1 y el eje de abscisas.

(b) [ 1'5 puntos] Calcula el área del recinto considerado en el apartado anterior.

Soluciones

Solución del Ejercicio nº 2 de la opción B del modelo 1 de 2000

(a)

y = (9-x2)/4 =(9/4) - (x/2)2, es decir su gráfica es la de una parábola igual a la de - x2, pero desplazada 9/4 hacia arriba y un poco mas abierta.

La recta tangente en x = 1 es y - f(1) = f ' (1)(x - 1)

f(x) = (9-x2)/4, derivando tenemos f ' (x) = -x/4, por tanto f(1) = 8/4 = 2 y f ' (1) = -1/2. sustituyendo tenemos que la recta tangente es y - 2 = -1/2((x - 1). Operando resulta y = -1/2x + 5/2

Su gráfica es

Para determinar el área pedida tenemos que hallar el corte de la parábola con la recta resolviendo (9-x2)/4 = -1/2x + 5/2, y nos sale 1 pues es el punto de tangencia

También hay que determinar los puntos de corte de la recta y de la parábola con el eje de abscisas OX, de ecuación y = 0, resultándonos x = 5 para la recta, y x = ± 3 para la parábola, del que solo nos vale el x = 3.

(b)

Área = ( -1/2x + 5/2)dx - ((9-x2)/4)dx = [-x2/4 + 5/2x - [9/4x - x3/12 =

= [(-25/4 + 25/2) - (-1/4 +5/2)] - [(27/4 - 27/12) - (9/4 - 1/12)] = 5/3 u.a.

Soluciones