| Enunciado del ejercicio nº 4 | solución del ejercicio nº 4 | Cuadro de Soluciones modelo 1 de 2000 |
Enunciado del Ejercicio nº 4 de la opción A del modelo 1 de 2000 |
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2'5 puntos]
Halla la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersección de los planos de ecuaciones respectivas x+y+2z = 4 y 2x-y+z = 2.
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Solución del Ejercicio nº 4 de la opción A del modelo 1 de 2000 |
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Ponemos la recta x+y+2z = 4 y 2x-y+z = 2, en paramétricas. Tomamos z = l , con lo cual resolvemos el sistema x+y = 4 - 2l e 2x-y = 2 - l . Sus soluciones son x = 2 - l e y 2 - l , luego la recta es r: Calculamos el plano p perpendicular (^ ) a la recta r que pasa por O(0,0,0), su punto de corte Q con dicha recta y la distancia buscada es d(O,Q)
El plano p tiene como vector normal n el vector director de la recta v = (-1,-1,1) p º (-1)(x-0) + (-1)(y-0) + (1)(z-0) = -x-y+z = 0 Q = r Ç p , para lo cual sustituimos la recta r en p -(2 - l ) - (2 - l ) + (l ) = 0 ® 3l - 4 = 0 ® l = 4/3 El punto Q es Q(2-(4/3), 2-(4/3), 4/3) = Q(2/3, 2/3, 4/3) OQ = (2/3-0, 2/3-0, 4/3-0) = (2/3, 2/3, 4/3) d(O,Q) = |OQ| =
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=
unidades de longitud (u.l.)