PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: INTEGRALES Y DERIVADAS

12.- Se divide un alambre de 100 metros de longitud en dos segmentos de longitudes x y 100-x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro se forma un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado.

  1. Determinar el dominio de la función f, es decir, los valores que puede tomar.

  2.  Con el estudio de la derivada de f obtener cuándo f es creciente y cuando es decreciente.

  3. Indicar razonadamente para qué valor de x se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima.    (Resolución)

Comunidad Valenciana, junio, 2001

11.- Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesitan exactamente 1248 metros de valla  para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible . (Resolución)

 

Murcia ,  junio, 2001

10.- a) Definición de derivada de una función en un punto

       b) Utilizando la definición de derivada, encuentra la derivada de la función 

                                               

                                       en el punto x0 = 3.

       c) Encuentra la ecuación de la tangente a la curva

                                         en el punto de abscisa x0 = 3                   (Resolución)

 

 Murcia, septiembre, 2001 

9.- Determinar una constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola 

      y = ax2 + 2x, la recta y = 0 y la recta x = a tiene de área (a2 - 1)2 . (Resolución)

 Extremadura,  junio, 2001

8.- A. Enunciado de la Regla de Barrow.

      B. Sea 

Demuestra que f(a.b) = f(a).f(b)      (Resolución)

Galicia, junio, 2000

7.- Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola de ecuación y2 = x y el segmento cuyos extremos son los puntos P(1, -1) y Q(4, 2).       (Resolución)

Oviedo, junio, 2000

6.- Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la función f: (0, +¥ )® R definida por f(x) = xLn(x). Calcula:

 

Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 0)        (Resolución)

Andalucía, junio, 2001

5.- Haciendo el cambio u = ex calcular:

               (Resolución)

Zaragoza, junio, 2000

4.- Encontrar las abscisas de los posibles máximos y mínimos de la función   f: R ® R  definida por 

             (Resolución)

Universidad de Murcia

3.- Sea F(x) la función definida por

 

Halla los puntos en que se anula la función F´(x).    (Resolución)

 

Universidad de Madrid

2.- Hallar la primitiva siguiente, explicando los pasos que se efectúan y justificando el método elegido:

  (Resolución)

Universidad de Canarias

1.- Calcula f(x) de manera que f´(x) = x Ln(x2 + 1) y que f(0) = 0. (nota: Ln significa logaritmo neperiano). (Resolución)

Universidad de Andalucía